கணித வரலாற்றில் 10 மோசமான தருணங்கள்

நாங்கள் அனைவரும் எங்கள் மோசமான தருணங்களை அனுபவித்திருக்கிறோம். எதிர்பாராத ஒன்று நடக்கிறது, சில சமூக பதட்டங்களும் தனிப்பட்ட சங்கடமும் உள்ளது, நீங்கள் உண்மையிலேயே அதைப் பெற விரும்புகிறீர்கள் அல்லது அது எப்போதாவது நடந்தது என்பதை மறந்துவிடுகிறீர்கள். ஆனால் நீங்கள் ஒரு கடுமையான கணிதவியலாளராக இருந்தால், உங்கள் உலகம் நிரூபிக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது?

கணிதம் எப்போதுமே தர்க்கத்தின் மூலம் உலகைப் புரிந்துகொள்வதையும், கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட, கணித மொழியில் வெளிப்படுத்துவதையும் பற்றியது. கணிதத்தை நிறுத்தும்போது (சிறிது நேரத்தில்) அர்த்தமுள்ளதாக இருப்பதைக் கவனிப்பது உண்மையில் குறிக்கும், கல்வி மற்றும் வேடிக்கையானது.

1. பகுத்தறிவற்ற எண்களின் கண்டுபிடிப்பு

ஏதென்ஸ் பள்ளி, இடது மூலையில் உள்ள ஒவ்வொரு பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி பித்தகோரஸையும் சித்தரிக்கிறது

பண்டைய கிரேக்கத்தில் கணித கடுமையின் தோற்றம் பொய்யானதால், கணித சிந்தனை மத நம்பிக்கைகளுக்கு நெருக்கமாகத் தொடங்கியது, இதனால் எண்கள் தெய்வீக பண்புகள் என்று கூறப்பட்டன.

ஆரம்பகால கணிதவியலாளர்களின் அமானுஷ்ய குழுவான ஸ்கூல் ஆஃப் பித்தகோரஸ், அனைத்து வழிபாட்டு முறைகளையும் போலவே கணித அறிவையும் முன்னோக்கி தள்ளியது, சில அடிப்படைவாத நம்பிக்கைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒவ்வொரு நடைமுறை சிக்கலுக்கும் விகிதங்களின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையால் ஆச்சரியப்பட்ட அவர்கள், உலகில் நடக்கும் எதையும் விளக்க முடியும் என்பதால் விகிதங்கள் (ஆம், எளிய பிரிக்கப்பட்ட எண்கள்) தெய்வீகமானது என்று அவர்கள் நம்பினர்.

அதன்படி, உலகில் நடக்கும் அனைத்தையும் ஒரு விகிதமாக வெளிப்படுத்த முடியும், இல்லையா?

இப்போது, ​​புதிதாக வடிவமைக்கப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது, ​​2 இன் எண் சதுர மூலத்தைக் கண்டுபிடித்தபோது அவர்களின் ஆச்சரியத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். இந்த பகுத்தறிவற்ற எண் (இரண்டு எண்களின் விகிதமாக அதை வெளிப்படுத்த முடியாது என்ற பகுத்தறிவற்ற பொருள்) விகிதங்களின் தெய்வீகத்தன்மையால் வெளிப்படுத்தப்பட்ட உலக ஒழுங்கை மீறி அவற்றின் முழு தத்துவத்தையும் கேள்விக்குள்ளாக்கியது.

இந்த புரட்சிகர கண்டுபிடிப்பின் விளைவுகளால் பீதியடைந்த அவர்கள், இதைப் பற்றி யாரிடமும் சொல்ல வேண்டாம் என்று முடிவு செய்தனர். கண்டுபிடிப்பைச் செய்த மனிதரான ஹிப்பாசஸைக் கூட அவர்கள் மூழ்கடித்தார்கள் என்றும் கூறப்படுகிறது. அமைதியான அறிவியல், நீங்கள் நினைக்கவில்லையா?

2. முடிவிலி

பகுத்தறிவற்ற எண்களின் கண்டுபிடிப்பு, ஏற்கனவே மோசமாக இருந்ததால், கிரேக்கர்களை மிகவும் திகிலூட்டும் கண்டுபிடிப்புக்கு முன்னால் கொண்டு வந்தது: முடிவிலி. பகுத்தறிவற்ற எண்கள் எண்ணற்ற தசம இலக்கங்களைக் கொண்டிருப்பதால் வகைப்படுத்தப்படுவதால், ஒருபோதும் முடிவடையாத தொடர் எண்களை எவ்வாறு உருவாக்க முடியும் என்பதற்கான விளக்கத்தை கிரேக்கர்கள் கொண்டு வர வேண்டியிருந்தது. முடிவிலி என்ற கருத்தை இன்று புரிந்துகொள்வது கடினம், மதம் அறிவியலுடன் இணைக்கப்பட்ட ஒரு வயது மற்றும் ஒரு கணித நம்பிக்கை கடவுளைப் பற்றிய நமது புரிதலை சவால் செய்யக்கூடாது. எனவே, கிரேக்கர்கள் என்ன செய்தார்கள்? அரிஸ்டாட்டில் மற்றும் பிளேட்டோவைப் போன்ற தத்துவவாதிகள் ஒரு முழுமையான முடிவிலி என்ற கருத்தை நிராகரித்தனர் மற்றும் கணிதவியலாளர்கள் வடிவவியலில் முடிவிலியின் தேவையைத் தவிர்ப்பதற்கான கண்டுபிடிப்பு வழிகளைக் கொண்டு வந்தனர், வடிவங்களின் பரப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சோர்வு முறையை உருவாக்கிய சினிடஸின் யூடோக்ஸஸ் போன்றவர்கள். 17 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதி வரைதான், நியூட்டனும் லீப்னிஸும் முடிவிலிமல்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் முடிவிலியை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதை ஊக்குவித்தனர், ஜான் வாலிஸ் 1655 இல் முடிவிலியின் நன்கு அறியப்பட்ட சின்னத்தை அறிமுகப்படுத்தினார்.

3. ஜீனோவின் முரண்பாடுகள்

தத்துவ ரீதியான பகுத்தறிவுக்கு வரும்போது கிரேக்கர்கள் நிச்சயமாக உச்சநிலைக்குச் சென்றனர்.

அவரது முன்னோடி ஹெராக்ளிடஸ் உலகில் உள்ள அனைத்தும் தொடர்ந்து மாறிக்கொண்டே இருப்பதாகக் கூறியபின், எதுவும் மாறாது என்று பார்மெனிட்ஸ் கூறினார். இதன் விளைவாக, இயக்கம் என்பது வெறும் மாயை, ஆகவே, கிரேக்கர்களின் கூற்றுப்படி உண்மையின் மொழியான கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி அதை விவரிக்க இயலாது.

பார்மெனிடிஸின் மாணவர்களில் ஒருவரான ஜெனோ, இயக்கத்தின் பகுத்தறிவின்மையை நிரூபிக்கும் நோக்கில் தொடர்ச்சியான முரண்பாடுகளை உருவாக்கினார். மிகவும் பிரபலமான ஒன்று, அகில்லெஸ் மற்றும் அவரது ஆமை இதுபோன்று செல்கிறது: அகில்லெஸ் ஒரு ஆமைக்கு எதிராக ஓடுகிறார், இது கணிசமாக மெதுவாக இருப்பதால் அவரை விட 100 மீட்டர் முன்னால் பந்தயத்தைத் தொடங்குவதற்கான நன்மை அளிக்கப்படுகிறது.

எளிமையின் குலுக்கலுக்காக, இரண்டு போட்டியாளர்களின் வேகம் நிலையானது என்றும், ஆச்சை ஆமையை விட 10 மடங்கு வேகமானது என்றும் நாம் கருதினால், அகில்லெஸ் ஆமையின் தொடக்க புள்ளியை அடையும் போது, ​​இது 10 மீட்டர் ஓடியிருக்கும் என்று நாம் கூறலாம். எனவே, அகில்லெஸ் பிடிக்க முயற்சிப்பார், அவர் இந்த அடுத்த கட்டத்தை அடையும் நேரத்தில், ஆமை கூடுதல் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தியிருக்கும்.

இந்த உயர்நிலைப் பள்ளி கணிதப் பிரச்சினை, அது எவ்வளவு எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் இருப்பது, பின்வரும் முரண்பாடான முடிவுக்கு நம்மை இட்டுச் செல்கிறது: அகில்லெஸ் ஆமை எவ்வளவு வேகமாக இருந்தாலும் ஒருபோதும் அவரை அடைய மாட்டார். வாழ்த்துக்கள் ஜீனோ, நீங்கள் இயக்க ஒலி நியாயமற்றது.

ஜீனோவின் முரண்பாடுகள் மெட்டாபிசிக்ஸ் மற்றும் சிக்கலான தத்துவவாதிகள் மற்றும் கணிதவியலாளர்களின் காலங்களில் உள்ளன என்று நம்பப்பட்டது, ஆனால் இன்று அவை கிரேக்கர்களிடம் இல்லாத ஒரு கணித கருவியான கால்குலஸுடன் விளக்கப்படலாம். அப்போது “நகர்த்துவோம்”.

4. மெபியஸ் துண்டு

ஒரு மேபியஸ் துண்டு

வேடிக்கையான தோற்றமுள்ள மெபியஸ் துண்டு, 1858 ஆம் ஆண்டில் சுயாதீனமான பட்டியலால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, அதன் பெயர் கணித வரலாற்றைத் தீண்டத்தகாதது, இது ஒரு பக்கமும் ஒரே ஒரு எல்லையும் கொண்ட மேற்பரப்பு, இது பெரும்பாலும் இளம் கணித மாணவர்களை புதிர் செய்யப் பயன்படுகிறது.

ஒரு துண்டு காகிதத்தை எடுத்து, அதை முறுக்கி, பின்னர் துண்டுகளின் முனைகளில் சேருவதன் மூலம் நீங்கள் அதை எளிதாக உருவாக்கலாம்.

நோக்குநிலை இல்லாத மேற்பரப்பின் முதல் எடுத்துக்காட்டு என்பதால், இந்த பட்டியலின் மற்ற கண்டுபிடிப்புகளைப் போலவே கணிதத்தின் அடிப்படையையும் அது அசைக்கவில்லை, ஆயினும் இது ஒரு எதிர்ப்பு பெல்ட் போன்ற பல நடைமுறை பயன்பாடுகளை வழங்கியது, மேலும் கணிதவியலாளர்களைக் கொண்டு வர ஊக்கமளித்தது க்ளீன் பாட்டில் போன்ற திசைதிருப்ப முடியாத மேற்பரப்புகள். (இந்த மேற்பரப்பின் பெயர் இரட்டை தற்செயல் நிகழ்விலிருந்து வந்திருக்கலாம்: க்ளீன், அதன் கருத்தாக்கம், முதலில் இதற்கு ஃப்ளெச் என்று பெயரிட்டது, அதாவது ஜெர்மன் மொழியில் மேற்பரப்பு என்றும், ஃபிளாஷைப் போலவே ஒலிக்கிறது, அதாவது பாட்டில் என்றும் பொருள். மறுபெயரிடுதல்).

5. உண்மையான எண்களின் கேன்டரின் கணக்கிட முடியாத தன்மை

முடிவிலி ஏற்கனவே ஒரு இழுவை என்று கையாண்டு, கேன்டர் 1874 இல் நிரூபித்தார், உண்மையில் பல்வேறு வகையான முடிவிலிகள் உள்ளன. குறிப்பாக, உண்மையான எண்களின் கணக்கிட முடியாததை நிரூபிக்கும் வகையில், கேன்டர் இந்த தொகுப்பு ஏற்கனவே எல்லையற்ற இயற்கை எண்களின் தொகுப்பிற்கு பெரியது என்பதை நிரூபித்தது.

1891 ஆம் ஆண்டில், அவர் மூலைவிட்ட வாதத்தையும் வழங்கினார், ஒரு சான்று மிகவும் நேர்த்தியானது, பின்னர் இது ஒரு முரண்பாட்டின் பயன்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்க ஒரு கருவியாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. அவரது கருத்து கார்டினல் எண்களின் கோட்பாட்டையும், கேள்வியைக் கையாளும் முரண்பாடுகளையும் பெற்றது: எத்தனை முடிவிலிகளை நீங்கள் கையாள முடியும்?

6. ரஸ்ஸலின் முரண்பாடு

பெர்ட்ராண்ட் ரஸ்ஸல் ஒரு கணிதவியலாளர், தத்துவஞானி, தர்க்கவாதி, கணிதவியலாளர், வரலாற்றாசிரியர், எழுத்தாளர், சமூக விமர்சகர், அரசியல் ஆர்வலர் மற்றும் எனது கருத்துப்படி, தன்னைப் படித்து ஊக்கமளிக்கும் ஒரு ஆளுமை.

1901 ஆம் ஆண்டில், ரஸ்ஸல் கேன்டரின் இதுவரை நன்கு நிறுவப்பட்ட தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் ஒரு பலவீனமான இடத்தைக் கண்டுபிடித்தார், இது கணித உலகத்தால் மேற்பார்வையிட முடியாத ஒரு முரண்பாட்டிற்கு இட்டுச் சென்றது. இந்த கோட்பாட்டின் படி, எந்தவொரு விஷயங்களின் தொகுப்பும் ஒரு தொகுப்பாக இருக்கலாம்.

ரஸ்ஸலின் முரண்பாடான உதாரணம், பார்பரின் முரண்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, பின்வருமாறு செல்கிறது: ஒரு சிறப்பு விதியைக் கொண்ட ஒரு நகரத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள்; தனக்கு மொட்டையடிக்கப்படாத ஒவ்வொரு மனிதனும் நகரத்தின் முடிதிருத்தும் மொட்டையடிக்கப்பட வேண்டும். உங்களுக்கு நீங்களே பதிலளிக்க முயற்சிக்கக்கூடிய மோசமான கேள்வி: முடிதிருத்தும் நபரை யார் ஷேவ் செய்கிறார்கள்?

இந்த கண்டுபிடிப்பு அவரை முந்தைய தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் வெறும் அஸ்திவாரங்களை கேள்விக்குள்ளாக்கி, புதிய ஒன்றை உருவாக்க வழிவகுத்தது, இது பின்னர் முன்மொழியப்பட்ட ஜெர்மெலோ-ஃபிரெங்கெல் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை விட மிகவும் சிக்கலானதாக இருந்தது.

7. கோடலின் முழுமையற்ற கோட்பாடுகள்

19 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதம் மற்றும் தர்க்கத்தின் அடிப்படைகளை உலுக்கிய தர்க்கவாதி, கணிதவியலாளர் மற்றும் தத்துவஞானி கர்ட் கோடெல்.

முந்தைய நிகழ்வுகள் சற்று சங்கடமான தருணங்களை உருவாக்கியதாகத் தோன்றினால், பின்வரும் மோசமான ஆமைக்காகக் காத்திருங்கள் (இது அகில்லெஸை விட மோசமானது).

நாங்கள் 20 ஆம் நூற்றாண்டு பற்றி பேசுகிறோம். மக்கள் தெரிந்து கொள்ள விரும்பவில்லை. தெரிந்து கொள்ள முடியுமா என்று தெரிந்து கொள்ளவும், அதை நிரூபிக்கவும் அவர்கள் விரும்பினர். அவர்களுக்கு துரதிர்ஷ்டவசமாக, மற்றும் பிரபஞ்சத்தைப் புரிந்து கொள்வதற்கான மனிதனின் தேவை, கோடெல் 1931 இல் இரண்டு கோட்பாடுகளை வெளியிட்டார், இது முழுமையற்ற கோட்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகிறது.

அவற்றின் தொழில்நுட்பங்களை விளக்குவது அவர்களின் முடிவுகளுக்கு ஏற்ப வருவது கடினம், கோடெல் நிரூபித்ததைப் போல, எண்கணித மொழி போன்ற ஒரு நிலையான மற்றும் முழுமையான அமைப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, உண்மை மற்றும் நிரூபிக்க முடியாத அறிக்கைகள் உள்ளன. பொய்யரின் முரண்பாட்டால் ஈர்க்கப்பட்ட இந்த எளிய அறிக்கையுடன் அவர் தனது தேற்றத்தின் உண்மையை விளக்கினார்: “இந்த அறிக்கையை நிரூபிக்க முடியாது”. இது உண்மை என்றால், இந்த அறிக்கை உண்மை மற்றும் நிரூபிக்க முடியாது. இது தவறானது என்றால், இந்த அறிக்கையை நிரூபிக்க முடியும், இது நிரூபிக்க முடியாது என்ற அசல் வாதத்திற்கு முரணானது.

இவை கணிதத்திற்கு மிகவும் மோசமான செய்திகளாக இருந்தன, முழுமையான உண்மையை விளக்கும் அவற்றின் அசல் கண்ணை கூசும். ஹில்பெர்ட்டின் அறிவு தேடலுக்கான ஒரு பயங்கரமான மறுபிரவேசம் இது, "நாங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும், நாங்கள் அறிவோம்" என்ற தனது அறிக்கையில் வெளிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

8. தார்ஸ்கியின் வரையறுக்க முடியாத தேற்றம்

கோடெல் உருவாக்கிய விரக்தியால் தார்ஸ்கி ஈர்க்கப்பட்டார் என்று தெரிகிறது. 1936 ஆம் ஆண்டில் அவர் வரையறுக்க முடியாத பிரச்சினைக்கான ஆதாரத்தை வழங்கினார்.

டார்ஸ்கியின் அவதானிப்புகள் கோடலின் படைப்புகளிலும் சேர்க்கப்பட்டிருந்தாலும், தார்ஸ்கியின் பணி மிகவும் ஆழமான தத்துவ தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகிறது என்று வாதிடப்படுகிறது. ஒரு மொழியால் உண்மையை வரையறுக்க முடியாது என்ற பொதுவான முடிவுக்கு டார்ஸ்கி முடிந்தது. இது ஒரு முக்கியமான வரம்பு என்றாலும், எளிமையான மொழியில் உண்மையை வரையறுக்க மிகவும் சக்திவாய்ந்த மெட்டா மொழியைப் பயன்படுத்துவது போதுமானது என்று அவர் அறிவுறுத்துகிறார்.

இப்போது, ​​ஒரு சாதாரண மனிதர் இது பிரச்சினையை தீர்க்கிறது என்று நினைக்கலாம், ஆனால் “அனைத்தையும் ஆள ஒரு மொழி” தேடும் ஒரு கணிதவியலாளருக்கு இது ஆறுதலளிக்காது.

9. நிறுத்துதல் பிரச்சினை

ஆலன் டூரிங் முடிவெடுக்கும் சிக்கலைச் சமாளிக்க முயன்றார், இது எளிமையான சொற்களில், ஒரு அறிக்கை உண்மையா இல்லையா என்று பதிலளிக்கக்கூடிய ஒரு வழிமுறையைக் கண்டுபிடிப்பதைக் கையாண்டது. கருத்தியல் ரீதியாக எளிமையான, ஆனால் தீர்க்கமுடியாத சிக்கலைச் சமாளிப்பதற்காக, அவர் அதை நிறுத்தும் சிக்கலுக்கு மறுபெயரிட்டார்: கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலில் ஒரு நிரல் நிறுத்தப்படுமா என்பதை உங்களுக்குச் சொல்லக்கூடிய ஒரு இயந்திரம் உள்ளதா?

நிறுத்துவது என்றால் அது எப்போதும் வளையாது. ஆனால் உங்களுக்கு அவ்வளவு குறைவாகத் தெரிந்த ஒரு இயந்திரத்தின் இயலாமையை எவ்வாறு நிரூபிப்பது? முரண்பாடுகள் கைகொடுக்கும் இடம் இது.

ஆலன் டூரிங் ஒரு இயந்திரத்தின் இருப்பைக் கருதி ஒரு உள்ளீட்டு நிரலைக் கொடுத்தார் மற்றும் ஒரு சிக்கல் அது நிறுத்தப்படுமா இல்லையா என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்கிறது. பின்னர் அவர் இந்த இயந்திரத்தை அதன் வெளியீட்டை மீண்டும் தானாகவே சுழற்றி, பதில் ஆம் எனில், பதில் இல்லை எனில் நிறுத்தினார்.

எனவே, பெரிதாக்கப்பட்ட இயந்திரம் நிறுத்தப்படுவதில் சிக்கலை நிறுத்துமா? ஆலனின் பதில்: ஆம் என்றால் இல்லை, இல்லை என்றால் ஆம். தர்க்கத்திற்கு மோசமான செய்தி போல் தெரிகிறது.

10. இலவச மதிய உணவு தேற்றம் இல்லை

21 ஆம் நூற்றாண்டிற்கான பத்தியானது தூய, கிட்டத்தட்ட தத்துவ கணிதத்திலிருந்து புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் தேர்வுமுறை போன்ற பயன்பாட்டு பகுதிகளுக்கு மாற்றப்படுவதைக் குறிக்கிறது.

உகந்ததாக்கலை நீங்கள் விரும்புவதாக நீங்கள் கருதினால், இது உங்களை ஒரு முழுமையானவராக மாற்றும் என்று நீங்கள் நினைக்கவில்லையா? ஒரு முழுமையானவர் விஷயங்களை மேம்படுத்த உகந்த வழியைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பமாட்டாரா?

டேவிட் வோல்பர்ட் மற்றும் வில்லியம் மக்ரெடி ஆகியோர் இந்த தேவையை உணர்ந்து ஒரு பதிலைக் கொண்டு வந்ததாகத் தெரிகிறது, இது நிச்சயமாக ஊக்கமளிக்கவில்லை (இல்லையெனில் அது எங்கள் பட்டியலில் இருக்காது). 1997 ஆம் ஆண்டில் வெளியிடப்பட்ட உகப்பாக்கலுக்கான இலவச மதிய உணவு தேற்றத்தின் படி, "சாத்தியமான அனைத்து சிக்கல்களிலும் அவற்றின் செயல்திறன் சராசரியாக இருக்கும்போது எந்த இரண்டு தேர்வுமுறை வழிமுறைகளும் சமமானவை."

இதயத்தை உடைக்கும் இது இருக்கலாம், இது தேர்வுமுறை பயனற்றது என்று அர்த்தமல்ல. இதைச் செய்வதற்கான பொதுவாக உகந்த வழியை நாங்கள் ஒருபோதும் கண்டுபிடிக்க மாட்டோம்.

இந்த தருணங்கள் கணித உலகத்தை அசிங்கமாக உணரவைத்தன, இது பிரபஞ்சம் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்போது விஞ்ஞானிகள் அனுபவிக்கும் விரக்தி மற்றும் குழப்பத்தின் உணர்வுகளுக்கு ஒரு ஒளிச் சொல்லாகும். ஆனால் அறிவியலை முன்னோக்கி நகர்த்துவதற்கான வழி அதிர்ச்சி.

கணித புலங்கள் உருவாக்கப்பட்டன, டூரிங் மெஷின், ஆடம்பரமான தோற்றமுள்ள மேற்பரப்புகள் மற்றும், மிக முக்கியமாக, எங்கள் கருத்துக்களை மறு ஆய்வு செய்து அதற்கேற்ப எங்கள் கருவிகளை மாற்றியமைக்கும் திறன் எங்களுக்கு கிடைத்தது.

இந்த கேள்விக்குரிய தருணங்கள் அறிவுபூர்வமாக உருவாக எங்களுக்கு உதவியது.

முழுமையற்ற கோட்பாடுகளைத் தவிர. இவை பேரழிவு தரும்.