=, 1, அல்லது வரையறுக்கப்படவில்லை. இது எது?

ஓரிரு நாட்களுக்கு முன்பு நான் ராமானுஜன் சம்மேஷன் பற்றி ஒரு கட்டுரை எழுதினேன், இது ஒரு நீண்ட கதையைச் சுருக்கமாகக் கூறுவது ஒரு கணிதத் தொடராகும், இது இதுபோன்றது:

நீங்கள் கட்டுரையைப் படிக்க விரும்பினால், இங்கே கிளிக் செய்க. இந்த உண்மையை கட்டுரையில் மற்ற இரண்டு சமமான சுவாரஸ்யமான சமன்பாடுகளுடன் நிரூபிக்கிறேன். இந்த கட்டுரைக்கான யோசனையில் நான் தடுமாறினேன். ராமானுஜன் சுருக்கத்தை வெளியிட்ட பிறகு, எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான தொகுப்பின் பரிமாற்றத்தன்மையைப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றி எனக்கு ஒரு கருத்து கிடைத்தது. உங்களிடம் 1 + 2 + 3 இருந்தால், விதிமுறைகளை மறுவரிசைப்படுத்துவது முடிவை மாற்றாது என்ற கருத்தாகும். எனவே 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, உங்களால் முடியும் ஆனால் எந்த வரிசையிலும் விதிமுறைகள் இன்னும் எப்போதும் 6 ஆக இருக்கும். மேற்கூறிய சமன்பாட்டை எனது மற்ற கட்டுரையில் நிரூபிக்க இந்த சொத்தை பயன்படுத்துகிறேன், ஆனால் forceOfHabit ஒரு சுவாரஸ்யமான விஷயத்தை கொண்டு வந்தது புள்ளி, இது எல்லையற்ற எண்களைக் கொண்டிருக்கிறதா?

"அதன் உள்ளுணர்வாக வெளிப்படையானது நேர்மறையான முழு எண்களைக் காட்டிலும் இரண்டு மடங்கு நேர்மறையான முழு எண்கள் உள்ளன. ஆனால் நாம் நேர்மறை முழு எண்களின் வரிசையை எடுத்து அனைத்தையும் 2 ஆல் பெருக்கினால், நேர்மறையான முழு எண்களின் வரிசையையும் பெறுவோம். ஆனால் வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரையும் 2 ஆல் பெருக்கினால் உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கையை மாற்ற முடியாது. எனவே நேர்மறை முழு எண்களின் அதே எண்ணிக்கையிலான நேர்மறை முழு எண்களும் உள்ளன. அது எது? இருமடங்கு அல்லது ஒரே எண்ணா? ” - forceOfHabit

நேர்மையாக, இதற்கு பதில் எனக்குத் தெரியாது. ஆனால் அது என் ஆர்வத்தை எட்டியது, எனவே இதை இன்னும் கொஞ்சம் ஆராய்ச்சி செய்ய முடிவு செய்தேன். நான் கணிதத்தின் வெவ்வேறு கிளைகள் வழியாக ஒரு விக்கிபீடியா வார்ம்ஹோலில் இறங்கினேன், வழியில் சில சுவாரஸ்யமான உண்மைகளைக் கற்றுக்கொண்டேன், கார்டினலிட்டியில் முடிந்தது. கார்டினலிட்டி செட்ஸைக் கையாளுகிறது மற்றும் ஒரு தொகுப்பில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் எவ்வாறு விவரிப்பீர்கள் என்பதுதான். எடுத்துக்காட்டாக, {1,2,3 set தொகுப்பில் 3 கூறுகள் உள்ளன அல்லது 3 இன் கார்டினலிட்டி உள்ளது.

கார்டினலிட்டியைப் பயன்படுத்தி, மேலே உள்ள கேள்விகளில் ஒரு பிடியைப் பெற ஆரம்பிக்கலாம். நான் இன்னும் சிறிது ஆராய்ச்சி செய்தேன், கார்டினல் எண்கணிதம் எனப்படும் கார்டினலிட்டியின் ஒரு சுவாரஸ்யமான பகுதியைக் கண்டேன், அவை எண்கணித செயல்பாடுகளாகும், அவை இயற்கையான எண்களுக்கான சாதாரண செயல்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்தும் கார்டினல் எண்களில் செய்ய முடியும். லேமன்ஸ் சொற்களில் சொல்வதானால், அவை கார்டினல் எண்களுக்கு குறிப்பாக வேலை செய்யும் ஒரு சிறப்பு செயல்பாடாகும், ஒவ்வொன்றும் அவற்றின் சொந்த வரையறையுடன். எடுத்துக்காட்டாக, உங்களிடம் முறையே 3 மற்றும் 4 கார்டினலிட்டிகளுடன் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு தொகுப்புகள் இருந்தால், இதை நாங்கள் | A | = 3 மற்றும் | பி | = 4. பின்னர் | அ | + | பி | = | எ ∪ பி |. நிச்சயமாக, இது | A | இன் எண் மதிப்புகளைச் சேர்ப்பதற்கு சமம் மற்றும் | பி |, இது இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது குறிப்பிட்ட தொகுப்புகளுக்கு எவ்வாறு உருவாக்கக்கூடிய எண்கணித செயல்பாடுகள் உள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது (செயல்பாட்டை வழங்குவது சில அளவுகோல்களை பூர்த்தி செய்கிறது).

கார்டினல் எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு உண்மையான எண் வரிசையில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை அந்த வரியின் எந்தப் பிரிவிலும் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையுடன் சமம் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இது மிகவும் எதிர்-உள்ளுணர்வுடன் தெரிகிறது, ஆனால் மீண்டும், மேலே உள்ள கேள்வியும் அப்படித்தான், அதனால்தான் அவை ஒத்தவை என்று நான் நினைக்க விரும்புகிறேன். வெளிப்படையாக, இது எந்த வகையிலும் முறையான அல்லது செல்லுபடியாகும் சான்று அல்ல, ஆனால் நீங்கள் அவற்றை ஒரே அர்த்தத்தில் கருத்தில் கொண்டால், ஃபோர்ஸ்ஆஃப்ஹாபிட்டின் கேள்விக்கான பதில் விருப்பம் b; முழு எண் முழு எண்.

ஆனால் மறுபுறம், நான் முற்றிலும் தவறாக இருக்கலாம், அதுவே முடிவிலியின் குழப்பம். இது ஒரு கருத்து என்பதால் அதைப் பற்றி தெரியாதவை நிறைய உள்ளன. முடிவிலியை அளவிட எந்த வழியும் இல்லை, ஏனெனில் வரையறையால் இது அளவிட முடியாதது மற்றும் உங்கள் தலையைச் சுற்றிக் கொள்வது கடினமான கருத்தாகும். எனது 1 ஆம் ஆண்டு கணித பேராசிரியர் முடிவிலியை மிகச் சுருக்கமாகக் கூறினார்: “நான் முடிவிலியை வெறுக்கிறேன். இது ஒரு எண் அல்ல, ஆனால் நாங்கள் அதை ஒன்றைப் போலவே நடத்துகிறோம், ஆனால் நாம் கூடாது. இது ஒரு கருத்து, ஒரு கணித மதிப்பு அல்ல, எனவே உங்களில் எவரேனும் இதைப் பயன்படுத்தினால், நீங்கள் நிச்சயமாக பாடத்தை கைவிடலாம்! ”

இப்போது முழு உலகிலும் எனக்கு பிடித்த எண்ணுக்கு. ஒருவருக்கு பிடித்த எண் என்ன என்று நீங்கள் கேட்கிறீர்கள் (நிச்சயமாக வானிலை பற்றி சிறிய பேச்சு முடிந்தவுடன்), அவர்கள் பிறந்த நாள் அல்லது அவர்கள் நம்பும் ஒரு அதிர்ஷ்ட எண் தொடர்பான ஏதாவது சொல்வார்கள். ஆனால் என்னிடம் கேளுங்கள், நான் உங்களுக்கு சொல்கிறேன் 0. இது ஒரு அதிர்ஷ்ட எண், அல்லது பிறந்த நாள் அல்லது ஆண்டுவிழா அல்ல, ஆனால் இது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.

தொடக்கக்காரர்களுக்கு, இது ஒரு மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் மதிப்பு இல்லை. நீங்கள் அதை வேறு எண்ணில் சேர்த்தால், அது அப்படியே இருக்கும். அதைக் கழிக்கவும், அப்படியே இருக்கும். ஆனால் நீங்கள் அதைப் பெருக்கும்போது, ​​நீங்கள் எதைப் பெருக்கினாலும் 0 கிடைக்கும்.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

நீங்கள் அதைப் பிரிக்கும்போது, ​​அது என்ன வகுப்பினைப் பொருட்படுத்தாமல் 0 ஐப் பெறுகிறது (பட்டி 1 எண், அதற்காக காத்திருங்கள்). 0/1234 இன்னும் பூஜ்ஜியமாக உள்ளது

ஆனால் நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் டைவிங் செய்யும்போது, ​​சில அசத்தல் பொருட்களைப் பெறுவீர்கள். நான் மேட்ரிக்ஸ் மட்டத்தில் வெறித்தனமான தோட்டாக்களைப் பேசுகிறேன். இயற்கணித வகுப்பை எடுத்த எவருக்கும் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது என்று தெரியும், ஏனெனில் அது வரையறுக்கப்படவில்லை. நாங்கள் அதை வரையறுக்கப்படாதது என வகைப்படுத்துகிறோம், ஏனெனில் நீங்கள் 6 ஐ பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முயற்சிக்கிறீர்கள் என்றால், “என்ன எண் 0 என்பது ஆறுக்கு சமம்?” என்ற கேள்வியைக் கேட்பதற்கு ஒப்பானது. அதை பூர்த்தி செய்ய எந்த எண்ணும் இல்லை என்பதை நாங்கள் அறிவோம், எனவே பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் என்பது பிரிவின் சாதாரண விதிகளை பின்பற்றாது. எனவே, நாங்கள் அதை புறக்கணிக்கிறோம். ஆனால், அந்த விதியை ஒரு நொடிக்கு நாம் மறந்துவிட்டால், பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்படுவது முற்றிலும் அபத்தமான விஷயங்களை 'நிரூபிக்க' மிகவும் சுத்தமாக இருக்கும். உதாரணத்திற்கு:

ஒரு = ஆ. பிறகு
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # மந்திர படி இங்கே நிகழ்கிறது
2 = 1

அங்கே நாங்கள் செல்கிறோம், நான் 2 = 1 என்பதை நிரூபித்தேன் மற்றும் கணிதத்தை உடைத்தேன்! இது செயல்படுவதற்கான காரணம், மாயாஜால படி, இருபுறத்தையும் a² - ab ஆல் வகுத்தல், ஆனால் நீங்கள் அசல் அறிக்கையைப் பார்த்தால், a = b, எனவே a² = ab, வேறுவிதமாகக் கூறினால் a² - ab = 0. இது வகுத்தல் பூஜ்ஜியம், இந்த சரியான காரணத்திற்காக வரையறுக்கப்படவில்லை. கணிதவியலாளர்கள் அதை பிளேக் போல தவிர்க்கிறார்கள் என்பதும் இதுதான்.

அதிர்ஷ்டவசமாக இது உண்மையில் மூன்றாவது விருப்பமாகும். இது ஒரு வரம்பின் வடிவத்தில் இருக்கும்போது, ​​அது ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவம், ஆனால் ஆப்பிளின் ஒரு பிரபலமான நண்பர் இதை சிறப்பாக விவரிக்கிறார் என்று நான் நினைக்கிறேன்:

“உங்களிடம் 0 குக்கீகள் இருப்பதாக கற்பனை செய்து பாருங்கள், அவற்றை 0 நண்பர்களிடையே சமமாகப் பிரிக்கிறீர்கள். ஒவ்வொரு நபருக்கும் எத்தனை குக்கீகள் கிடைக்கும்? பார், அது அர்த்தமல்ல. குக்கீகள் இல்லை என்று குக்கீ மான்ஸ்டர் வருத்தப்படுகிறார். உங்களுக்கு நண்பர்கள் இல்லை என்று வருத்தப்படுகிறீர்கள். " - ஸ்ரீ (உண்மையில், ஸ்ரீவிடம் “0 என்ன 0 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது?” என்று கேட்க முயற்சிக்கவும்)

பூஜ்ஜியம் சம்பந்தப்பட்ட மிகவும் சிக்கலான கேள்வி, 0⁰ என்றால் என்ன? வரையறையின்படி, நீங்கள் b இன் சக்தியைக் கொண்டிருந்தால், இதன் விளைவாக b இன் பல மடங்கு பெருக்கப்படும். எனவே அது பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டுமா? ஏனெனில் பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கப்படும் எந்த எண்ணும் பூஜ்ஜியமாகும். ஆனால் a⁰ = 1 (எல்லாவற்றிற்கும் ஒரு ≠ 0) என்பதையும் நாங்கள் அறிவோம், எனவே அது 1 ஆக இருக்க வேண்டுமா? அல்லது 0 ஆல் வகுக்கப்படுவதைப் போல வரையறுக்கப்பட வேண்டாமா? இது கணிதத்தில் நீண்ட காலமாக விவாதிக்கப்பட்டு வருகிறது, உண்மையான பதில் என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்று இரு தரப்பினருக்கும் வாதங்கள் உள்ளன. இருபுறமும் வாதங்களைத் தரும் ஒரு சுவாரஸ்யமான வலைத்தளம் இங்கே உள்ளது, ஆனால் முக்கியமானது பின்வருமாறு: 0⁰ இல் வரையறுக்கப்படாத பக்கமாக இருக்க வேண்டும், எங்களிடம் உள்ளது:

  1. எங்களுக்கு a⁰ = 1 (எல்லா a ≠ 0 க்கும்) தெரியும், ஆனால் a⁰ = 1 (அனைவருக்கும் a> 0). இந்த முரண்பாடு 0⁰ வரையறுக்கப்படக்கூடாது என்பதாகும்

0⁰ = 1 பக்கத்தில், எங்களிடம்:

  1. X = 0 க்கு இருவகை தேற்றம் பிடிக்க, நமக்கு 0⁰ = 1 தேவை
  2. 0⁰ என்பது வெற்று உற்பத்தியைக் குறிக்கிறது (0 உறுப்புகளின் தொகுப்பிலிருந்து தேர்வு செய்யக்கூடிய 0 தனிமங்களின் தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை), இது வரையறையின்படி 1 ஆகும் (இது 0 இன் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட வேறு எதுவும் 1 ஆக இருப்பதற்கும் இதே காரணம்).

எனவே என்ன பதில்? சரி, எங்களிடம் இன்னும் உறுதியான பதில் இல்லை. பெரும்பாலான மக்கள் அதை நிச்சயமற்றது என்று ஒப்புக்கொள்வார்கள் (x ^ y இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடாக தோற்றத்தில் தொடர்ச்சியாக இல்லை என்பதால்). ஆனால் இரு தரப்பினரும் சரியான வாதங்களைக் கொண்டுள்ளனர், மேலும் ஒருவர் ஒன்று அல்லது மற்றொன்றைக் கூறும் உறுதியான ஆதாரத்தை யாராவது கொண்டு வரும் வரை, ஒன்று உண்மையாக இருந்தால் உரிமை கோர முடியாது.

இரண்டையும் இணைத்தால் என்ன ஆகும் என்று இப்போது நீங்கள் யோசித்துக்கொண்டிருக்கலாம். X 0 என்றால் என்ன? எப்படி? சரி பிரச்சினை மீண்டும் முடிவிலிக்கு வருகிறது, அதில் அது ஒரு கருத்து மட்டுமே. அதை அளவிட எந்த வழியும் இல்லை, நீங்கள் எண்ணற்ற கம்மி கரடிகள் அல்லது எல்லையற்ற அளவு ஐஸ்கிரீம்களை வைத்திருக்க முடியாது (நாங்கள் அனைவரும் நாங்கள் விரும்புகிறோம் என்று நான் நம்புகிறேன்).

பெரும்பாலும், பதில் வரையறுக்கப்படவில்லை. இவை அனைத்தும் விடை இல்லாத கேள்விகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள், ஏனென்றால் முடிவிலி போன்ற ஒரு கருத்துக்கு நாம் ஒரு அர்த்தமுள்ள மதிப்பைக் கொடுக்க முடியாது. நிச்சயமாக 0 like like போன்ற ஒற்றைப்படை விதிவிலக்கு உள்ளது, இது 0 இன் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. நீங்கள் 0 ^ n என்ற வரம்பை n முடிவிலிக்கு முனைந்தால், அது பூஜ்ஜியமாகும். ஆனால் அவை அரிதான நிகழ்வுகளாகும், பின்னர் கூட 0 ^ techn தொழில்நுட்ப ரீதியாக 0 க்கு சமமாக இல்லை, அது மிக மிக நெருக்கமாகிறது.

எனவே நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், முடிவிலி மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம், ஏனெனில் அது ஒரே நேரத்தில் மிகவும் உறுதியானது மற்றும் சுருக்கமானது. கணித பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளில் நீங்கள் எப்போதுமே அதைப் பார்க்கிறீர்கள், ஆனால் அது என்ன என்பதற்கான உறுதியான வரையறை அல்லது மதிப்பு இன்னும் எங்களிடம் இல்லை.

பூஜ்ஜியம் அற்புதமானது, ஏனெனில் அது சொந்த விஷயம். சில நேரங்களில் அது விதிகளின்படி விளையாடுவதை விரும்புகிறது, சில நேரங்களில் அது சொந்த காரியத்தைச் செய்கிறது, எப்போதாவது அது ஒரு அறையில் தன்னைப் பூட்டிக் கொண்டு யாருடனும் ஒத்துழைக்க மறுக்கிறது.

இருவருக்கும் தங்களது சொந்த மீட்பின் குணங்கள் உள்ளன, அவை கணிதத் துறையில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். அவர்கள் தங்கள் சொந்த க்யூர்க்ஸையும் கொண்டிருக்கிறார்கள், இது பயனுள்ளதாகவும் சில சமயங்களில் பயனுள்ளதாகவும் இருக்கும், மற்றவர்களுக்கு பட் ஒரு வலி. ஆனால் அது வாழ்க்கையின் உண்மைகளில் ஒன்றாகும், அது முடிவிலி மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் குழப்பம்.